CDF vs PDF ¿Cuál es la diferencia?
Diferencia entre CDF y PDF
La Función de Distribución Acumulada y la Función de Densidad de Probabilidad son dos ideas esenciales en teoría de probabilidad que frecuentemente confunden a los estudiantes. Comprender el comportamiento, las características y las distribuciones de las variables aleatorias depende críticamente de estas operaciones. Conocer las diferencias entre PDF vs CDF es crucial para analizar e interpretar las probabilidades relacionadas con variables aleatorias continuas y discretas.
Este artículo discutirá las definiciones de PDF vs CDF y sus roles e interacciones únicos. Para aclarar su aplicación y resaltar su importancia en diversas aplicaciones estadísticas, también ofreceremos un ejemplo resuelto para mostrar su uso.
¿Qué es la Función de Densidad de Probabilidad (PDF)?
La PDF es una herramienta crucial para comprender las probabilidades asociadas con variables aleatorias continuas. Proporciona una curva suave que representa la distribución de probabilidad sobre los posibles valores. La función PDF no proporciona las probabilidades de valores individuales específicos. Sin embargo, describe la probabilidad del variable aleatoria tomando valores dentro de un pequeño intervalo alrededor de un punto particular.
Para comprender el concepto de PDF, imagina una distribución continua de probabilidad, como la altura de los hombres adultos. La probabilidad para diferentes rangos de altura se mostrará en la PDF. Por ejemplo, podría sugerir que las personas con alturas entre 5’9″ y 5’10” son más numerosas que aquellas con alturas fuera de ese rango.
El área bajo la curva de la PDF que abarca un rango representa la probabilidad de que la variable aleatoria caiga dentro de ese rango. Solo calculando la integral de la PDF en ese punto se puede calcular la probabilidad de un valor único, que es la probabilidad de que la variable aleatoria esté infinitesimalmente cerca de ese valor.
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¿Qué es la Función de Distribución Acumulada (CDF)?
La CDF es un concepto complementario a la PDF y proporciona una perspectiva acumulativa de las probabilidades asociadas con una variable aleatoria. A diferencia de la curva suave de la PDF, la CDF es una función escalonada que salta en valores específicos. Muestra la probabilidad de que un número en particular sea menor o igual a la variable aleatoria.
La CDF comienza en 0 para valores negativos, aumentando constantemente hacia 1 a medida que aumenta el valor de la variable aleatoria. Para variables aleatorias discretas, la CDF aumenta en pasos correspondientes a las probabilidades de cada resultado posible. Para variables aleatorias continuas, aumenta suavemente, reflejando las probabilidades acumuladas en diferentes intervalos.
La CDF mostraría la probabilidad de encontrar a un hombre con una altura menor o igual a cierto valor, como 5’9″, utilizando el ejemplo de las alturas de los hombres mencionado anteriormente. La CDF nos permite responder preguntas como “¿Qué porcentaje de hombres adultos es más bajo que 5’9” presentando la probabilidad acumulativa.
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Comprendiendo PDF vs CDF con un ejemplo
Comprender cómo interactúan la Función de Densidad de Probabilidad y la Función de Distribución Acumulada es esencial para comprender cómo se comportan las variables aleatorias y cómo funcionan sus distribuciones. Ambas funciones proporcionan información complementaria sobre las probabilidades de los valores de la variable aleatoria.
Anteriormente mostramos cómo calcular la PDF vs CDF utilizando el ejemplo del dado justo de seis caras. Ahora exploremos su conexión y aspectos más profundos de su relación.
Calculando la CDF a partir de la PDF
Necesitamos integrar la PDF en un rango dado para encontrar la CDF a partir de la PDF. La CDF en un punto x (F(x)) para una variable aleatoria continua es igual a la región de la curva PDF hasta ese punto. Puede ser modelado matemáticamente de la siguiente manera:
F(x)=[a, x]f(t)dtAquí, x es el punto en la curva de distribución para el cual deseamos obtener la probabilidad acumulativa, y a es el límite inferior del rango.
Para nuestro ejemplo de lanzar el dado justo, podemos usar los valores de la PDF que calculamos anteriormente para encontrar la CDF:
Calculemos la CDF en x = 3:
F(3) = ∫[1, 3] f(t) dt
F(3) = ∫[1, 3] 16 dt
F(3) = [t6] |[1, 3]
F(3) = (36) - (16)
F(3) = 26De manera similar, podemos calcular la CDF para otros valores de x utilizando el mismo enfoque.
Relacionando PDF y CDF para variables aleatorias discretas
La relación entre la PMF (Función de Masa de Probabilidad) y la CDF es más evidente para variables aleatorias discretas. La PMF proporciona las probabilidades para cada valor específico de la variable aleatoria discreta, mientras que la CDF acumula estas probabilidades.
La CDF en un valor particular, x, es la suma de todas las probabilidades de que la variable aleatoria sea menor o igual a x. Matemáticamente, para variables aleatorias discretas:
F(x) = P(X ≤ x) = Σ[todos los valores ≤ x] P(X = valor)Al sumar las probabilidades de todos los valores hasta x, obtenemos la probabilidad acumulativa hasta ese punto, y este proceso se alinea con el concepto de CDF.
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Entendiendo la Diferencia entre CDF vs PDF
Entendamos las propiedades y aplicaciones únicas en PDF y CDP:
Definición
| CDF | |
| La función de densidad de probabilidad o PDF describe la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua. Muestra la probabilidad de que la variable aleatoria tenga un valor particular. | En general, la probabilidad de que una variable aleatoria tenga un valor menor o igual a un valor específico está determinada por la función de distribución acumulativa o CDF. |
Representación
| CDF | |
| Una variable aleatoria continua se representa frecuentemente utilizando la expresión f(x), donde ‘x’ representa el valor de la variable. | Se puede aplicar a variables aleatorias continuas y discretas y se expresa frecuentemente como F(x), donde ‘x’ representa el valor de la variable. |
Tipo de Función
| CDF | |
| El PDF se utiliza para variables aleatorias continuas, donde la probabilidad se distribuye en un rango infinito de valores. | La CDF se aplica a variables aleatorias discretas y continuas, ya que acumula probabilidades para todos los posibles valores de la variable aleatoria. |
Interpretación
| CDF | |
| El PDF proporciona la densidad de probabilidad en un punto particular de la curva de distribución continua, indicando cómo se distribuye la probabilidad en diferentes valores. | La CDF proporciona la probabilidad acumulativa hasta un valor específico, ofreciendo información sobre las probabilidades de que la variable aleatoria sea menor o igual a ese valor. |
Integración
| CDF | |
| La integral del PDF en un cierto rango proporciona la probabilidad de que la variable aleatoria caiga dentro de ese rango. | La CDF se obtiene mediante la integración del PDF desde un límite inferior hasta un valor específico, ‘x’, que acumula las probabilidades hasta ese punto. |
Rango
| CDF | |
| El PDF puede tomar cualquier valor no negativo para cualquier punto dado en la curva de distribución, representando la probabilidad de que la variable asuma ese valor. | La CDF siempre varía de 0 a 1, ya que proporciona la probabilidad acumulativa, y no disminuye, lo que significa que solo puede aumentar o permanecer constante a medida que ‘x’ aumenta. |
Aplicación
| CDF | |
| El PDF se utiliza comúnmente en la estimación de la densidad de probabilidad, el modelado estadístico y la comprensión de la forma de las distribuciones continuas. | El CDF se puede utilizar para determinar los percentiles y cuantiles de una distribución y la probabilidad de que una variable aleatoria caiga dentro de un rango determinado. |
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Conclusión
En resumen, comprender la distinción entre CDF y PDF es esencial en probabilidad y estadística. Ambos desempeñan un papel vital en el análisis de variables aleatorias y sus distribuciones. Si deseas adentrarte más en la ciencia de datos y mejorar tus habilidades estadísticas, considera inscribirte en el Programa Blackbelt de Analytics Vidhya. Este programa integral te proporcionará los conocimientos y la experiencia para destacarte en el mundo de la ciencia de datos. No pierdas esta oportunidad de desbloquear todo tu potencial y llevar tu carrera a nuevas alturas con el Programa Blackbelt de Analytics Vidhya. ¡Comienza tu viaje en la ciencia de datos hoy mismo!
