Convergencia en Probabilidad o Distribución

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¿Cuál es la diferencia entre los dos?

Durante tu estudio de estadísticas, ¿has encontrado los conceptos de convergencia en probabilidad y convergencia en distribución? ¿Alguna vez te has preguntado por qué se introdujeron estos conceptos en primer lugar? Si es así, esta historia tiene como objetivo ayudarte a responder algunas de esas preguntas.

Convergencia en Probabilidad

Comencemos profundizando en el concepto de convergencia en probabilidad, ya que es el concepto más sencillo de entender. Imagina que tenemos una secuencia de variables aleatorias: X1, X2, …, Xn, y a medida que dejamos que n se acerque al infinito, si la probabilidad de que Xn esté muy cerca de x se acerca a 1, podemos concluir que Xn converge a x en probabilidad.

¿Por qué se define de esta manera? La razón detrás de esta definición se deriva del hecho de que, sin importar cuán grande se vuelva n, Xn nunca será igual a x (la constante). Lo más que podemos afirmar es especificar qué tan cerca debe estar Xn de x en términos de la probabilidad de que Xn caiga dentro de un cierto intervalo alrededor de x.

Por lo tanto, nuestra definición afirma que a medida que n se acerca al infinito, la probabilidad de que Xn difiera de x en una cantidad mayor que ε disminuye a un nivel infinitesimal, acercándose finalmente a cero. Además, ε puede ser arbitrariamente pequeño.

Un ejemplo ilustrativo de convergencia en probabilidad sería el concepto de la media muestral. Considera el escenario en el que repetidamente extraemos n muestras de una distribución normal con una media de 0 y una desviación estándar de 0.1. Si calculamos la media muestral de estas n muestras, esta media muestral resultante se convierte en una variable aleatoria denotada como Xn y posee su propia distribución.

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Entonces surge la pregunta: ¿Cuál es la naturaleza de esta distribución? Cuando n=1, la media muestral es simplemente equivalente a la muestra individual en sí misma, y su distribución refleja la distribución de la población, específicamente la distribución normal con una media de 0 y una desviación estándar de 0.1.

Pero, ¿qué sucede si n=1000? Intuitivamente, en tales casos, esperaríamos que la media muestral calculada esté muy cerca de la media de la población, que es 0. Es razonable asumir que cuando extraemos repetidamente 1000 muestras y calculamos la media muestral, la…